Posloupnosti a funkce

Témata cvičení:

• formální záležitosti (průběh cviční, zápočty, konzultace, …),
• opakování potřebných pojmů ze střední školy.

Formální záležitosti

• Vše o cvičení, jeho průběhu, zápočtech atd. najdete na webu cvičení.
• Kontakty na vyučující, konzultační hodiny atd. pak na webu katedry.

Opakování ze střední školy

Zejména práce s posloupnostmi a funkcemi a jejich vlastnosti. Pro kontext i ukázka důkazu matematickou indukcí, kterou ze střední školy pravděpodobně neznají všichni. Detailně ji ale uvidíte v jiných předmětech.

• O posloupnostech se můžete dozvědět více např. zde.
• O funkcích např. zde.
• O matematické indukci např. zde.

Na cvičení jsme se podívali na:

• posloupnosti:
  • definice,
  • zápis n-tým členem,
  • rekurentní zápis,
  • aritmetické a geometrické posloupnosti,
  • graf posloupnosti;
• funkce:
  • konstantní, lineární, kvadratická, kubická, exponenciální a logaritmická funkce,
  • vlastnosti funkcí (monotónnost, sudost/lichost, omezenost, extrémy, definiční obor a obor hodnot).
• příklad na matematickou indukci

Úkoly k procvičení

1. Mějme funkci ℝ → ℝ. Nakreslete její graf a řekněte vše, co o ní víte.
   • f(x) = x + 5
   • f(x) = 6 ⋅ x³
   • f(x) = 2 ⋅ x² + 8
   • Srovnejte s obdobnými příklady 2, 3 a 4 ze cvičení.
2. Navíc doporučuji projít si důkladněji alespoň následující funkce:
   • konstantní,
   • lineární,
   • kvadratická,
   • kubická,
   • exponenciální,
   • logaritmická,
   • faktoriál.
   • Zejména si nakreslete a porovnejte jejich grafy; alespoň hodnoty v bodech 1, 2, 3, …, 10. Všechny tyto funkce (a některé další) budeme používat pro analýzu složitostí algoritmů a jejich porovnávání.
3. Vyřešte následující příklady s logaritmy
   • log₁₀1000
   • log₂1024
   • log₈8⁶
   • log₄32
     
   • log₉27
   • Pepa si od známého půjčil 1000 Kč s úrokem 100% p.a. a na svůj dluh zapomněl. Po kolika letech dluh vzroste na více než milion korun?
4. Dokažte matematickou indukcí:
   • 1 + 2 + … + n = (n ⋅ (n + 1))/2
   • 6ⁿ − 1 je číslo dělitelné 5
   • 3ⁿ − 1 je sudé číslo
   • n! > 3ⁿ pro n ≥ 7
   • 1² + 2² + 3² + … + n² = (n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1))/6
   • 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²